http://fumiya90.blog111.fc2.com/ 日記を書いていきます 更新はたまにすると思うけどよろしく ja http://fumiya90.blog111.fc2.com/blog-entry-21.html 無量大数の彼方へ(Copyright(C) 高杉親知 (ts sf.airnet.ne.jp) より)子供の頃、算数の教科書で大きい数の単位を知って感動した。日本語は素晴らしいと思ったが、実はこれらは全て中国から来たものだと後に知った。以下は日本語の数の表である。 100一(いち) 101十(じゅう) 102百(ひゃく) 103千(せん) 100- 100一 101十 102百 103千 104万(まん) 104一万 105十万 106百万 107千万 108億(おく) 108一億 109十億 1010百億 (Copyright(C) 高杉親知 (ts sf.airnet.ne.jp) より)
子供の頃、算数の教科書で大きい数の単位を知って感動した。日本語は素晴らしいと思ったが、実はこれらは全て中国から来たものだと後に知った。以下は日本語の数の表である。
100
一(いち)
101
十(じゅう)
102
百(ひゃく)
103
千(せん)

100
- 100
一 101
十 102
百 103
千
104
万(まん)
104
一万 105
十万 106
百万 107
千万
108
億(おく)
108
一億 109
十億 1010
百億 1011
千億
1012
兆(ちょう)
1012
一兆 1013
十兆 1014
百兆 1015
千兆
1016
京(けい)
1016
一京 1017
十京 1018
百京 1019
千京
1020
垓(がい)
1020
一垓 1021
十垓 1022
百垓 1023
千垓
1024
1024
一
1025
十
1026
百
1027
千

1028
穣(じょう)
1028
一穣 1029
十穣 1030
百穣 1031
千穣
1032
溝(こう)
1032
一溝 1033
十溝 1034
百溝 1035
千溝
1036
澗(かん)
1036
一澗 1037
十澗 1038
百澗 1039
千澗
1040
正(せい)
1040
一正 1041
十正 1042
百正 1043
千正
1044
載(さい)
1044
一載 1045
十載 1046
百載 1047
千載
1048
極(ごく)
1048
一極 1049
十極 1050
百極 1051
千極
1052
恒河沙(ごうがしゃ)
1052
一恒河沙 1053
十恒河沙 1054
百恒河沙 1055
千恒河沙
1056
阿僧祇(あそうぎ)
1056
一阿僧祇 1057
十阿僧祇 1058
百阿僧祇 1059
千阿僧祇
1060
那由他(なゆた)
1060
一那由他 1061
十那由他 1062
百那由他 1063
千那由他
1064
不可思議(ふかしぎ)
1064
一不可思議 1065
十不可思議 1066
百不可思議 1067
千不可思議
1068
無量大数(むりょうたいすう)
1068
一無量大数 1069
十無量大数 1070
百無量大数 1071
千無量大数

すでに後漢の徐岳による数術記遺に、載までの単位が記されている。ただし垓の次は「」ではなく「秭(し)」だった。この違いは後述する。単位の関係は下数、中数、上数という三方式があり、統一されていなかった。下数では、単位を 10 倍すると次の単位になる。中数では、単位を 108 倍すると次の単位になる。上数では、単位を 2 乗すると次の単位になる。一方、前漢代に完成した礼記(らいき)には「兆」を億の 104 倍として使う記述がある。これは数術記遺の中数とは異なる。礼記のように 104 倍すると次の単位になる中数を万進、数術記遺のように 108 倍すると次の単位になる中数を万万進と呼ぶ。以下にそれを示す。
名称 数
下数 中数（万進） 中数（万万進） 上数
一 100
十 101
百 102
千 103
万 104
億 105 104×2 = 108 108×1 = 108 104×2 = 108
兆 106 104×3 = 1012 108×2 = 1016 104×22 = 1016
京 107 104×4 = 1016 108×3 = 1024 104×23 = 1032
垓 108 104×5 = 1020 108×4 = 1032 104×24 = 1064
秭 109 104×6 = 1024 108×5 = 1040 104×25 = 10128
穣 1010 104×7 = 1028 108×6 = 1048 104×26 = 10256
溝 1011 104×8 = 1032 108×7 = 1056 104×27 = 10512
澗 1012 104×9 = 1036 108×8 = 1064 104×28 = 101024
正 1013 104×10 = 1040 108×9 = 1072 104×29 = 102048
載 1014 104×11 = 1044 108×10 = 1080 104×210 = 104096

このうち、最も古いのは下数である。一、十、百、千、万と来れば、次に万の十倍の単位を考えるのは自然である。下数の問題は単位が多くなりすぎることだ。あまり使われない単位は理解されない可能性があり、実用に適さない。漢の人口は五千万人を越えており、このような大きな数は抽象的なものではなかったので、理解しやすい方式が必要だった。そのため、万を基準としてそれ以上を十万、百万と呼ぶ方式が自然に生まれてきたと考えられる。

上数では、万万が億、億億が兆、兆兆が京になるように、今までの単位で表現できなくなって初めて新たな単位が導入される。この方式は一見合理的だが、人間には理解しづらく、やはり実用的でない。例えば上数では 1030 が「百万億兆」になる。一方中数は十万、百万で用いたのと同じ方式なので最も理解しやすい。しかし、なぜか万進ではなく万万進が標準的になったので、やや複雑な表現となった。以下に各方式での数の呼び方を示す。
数 名称
下数 中数（万進） 中数（万万進） 上数
104 万 万 万 万
108 垓 億 億 億
1012 澗 兆 万億 万億
1016 - 京 兆 兆
1020 - 垓 万兆 万兆
1024 - 秭 京 億兆
1028 - 穣 万京 万億兆
1032 - 溝 垓 京

十万億土などの仏教用語は、当時一般的だった万万進の中数を用いたものである。十万億は 1013 を意味する。

元の朱世傑による算学啓蒙で初めて、載を超える単位として極、恒河沙、阿僧祇、那由他、不可思議、無量数(むりょうすう)が加わった。極以外は全て仏教に由来するものだが、元々の数と同じ数を表すわけではない。仏典の中では阿僧祇は那由他より大きいが、中国の数詞としては那由他のほうが大きい。これらの新しい数は中数のみで使われ、下数や上数で使われることはなかった。なお、阿僧祇は「阿僧祗」と書かれることがあるが、正しくない。阿僧祇の元のサンスクリット語（梵語）は asam.khya であり、「祗(し)」ではなく「祇(ぎ)」を使うのが正しい。

その後、万万進の中数と並んで万進の中数も次第に使われ始めた。依然、中数の標準は万万進で、明の程大位による算法統宗では万万進のみを挙げるが、万進のほうが理解しやすいので広まっていったようだ。

日本で大きな数の単位を確立したのは、1627 年に初版が出た吉田光由の塵劫記(じんこうき)である。算法統宗を土台にしているが、単位に違いが見られる。算法統宗は万万進の中数だが、塵劫記初版では下数と万万進の組み合わせ、寛永 8 年版では万進と万万進の組み合わせ、寛永 11 年版では万進のみになる。まとめると以下のようになる。
名称 数
算法統宗 塵劫記
初版
(1627) 寛永 8 年版
(1631) 寛永 11 年版
(1634)
一 100
十 101
百 102
千 103
万 104
億 108×1 = 108 105 104×2 = 108
兆 108×2 = 1016 106 104×3 = 1012
京 108×3 = 1024 107 104×4 = 1016
垓 108×4 = 1032 108 104×5 = 1020
秭 108×5 = 1040 109 104×6 = 1024
穣 108×6 = 1048 1010 104×7 = 1028
溝 108×7 = 1056 1011 104×8 = 1032
澗 108×8 = 1064 1012 104×9 = 1036
正 108×9 = 1072 1013 104×10 = 1040
載 108×10 = 1080 1014 104×11 = 1044
極 108×11 = 1088 1015 104×12 = 1048
恒河沙 108×12 = 1096 1015+8 = 1023 104×12+8 = 1056 104×13 = 1052
阿僧祇 108×13 = 10104 1015+8×2 = 1031 104×12+8×2 = 1064 104×14 = 1056
那由他 108×14 = 10112 1015+8×3 = 1039 104×12+8×3 = 1072 104×15 = 1060
不可思議 108×15 = 10120 1015+8×4 = 1047 104×12+8×4 = 1080 104×16 = 1064
無量大数 - - 104×12+8×5 = 1088 104×17 = 1068

寛永 11 年版では万進と万万進の混交を解消し、すっきりした万進の体系を完成させた。以降の版は全て万進で統一されている。今でも寛永 8 年版に基づき極以上を万万進とする説明を見かけるが、現在「十万極」などと使われることはまずないし、寛永 8 年版の位取りは寛永 11 年版で否定されているので、万進を使うべきだ。

算学啓蒙にあった不可思議の上の無量数は、寛永 8 年版から無量大数という名で組み込まれた。たまに無量大数と無限大を混同する人がいるが、両者は全くの別物である。無量大数はあくまで有限の数であり、無限大に比べれば限りなく小さい。1 から無量大数に増えても無限大への距離は全く縮まらない。また「無限大数」という表記を見ることがあるが、そのような言葉はない。

その後、寛永 20 年版から「秭(し)」が誤って「 」と印刷され、読みも「序」や「舒」につられて「じょ」になった。「秭」に含まれる「 」という字は日本では全く使われないため、間違えられたのも無理はない。中国では「姊」という字を使うが、日本では異体字の「姉」を用いる。これと同じように「秭」の代わりに「 」を使うことがあった。今ではむしろ「」が標準的となっている。このほうが「四(し)」と同音衝突しないので良い。

また、無量大数の「無量」と「大数」の間に傷がある版があり、後の版では誤って二数に分離された。この場合、無量が 1068、大数が 1072 を意味する。現在、数の単位の一覧に無量と大数に分けて挙げるものもあるが、単独では無量大数が使われることが圧倒的に多く、分けないほうが一般的である。

結局日本人の功績は、大きい単位を作ったことではなく、簡素な万進の体系を確立したことにある。日本語では万、億、兆、京、垓がそれぞれ 104, 108, 1012, 1016, 1020 を指すことは確実であり、誤解される可能性はない。中国では万進と万万進が統一されることなく近代化が始まったため混乱が生じた。さらに悪いことに、メートル法の mega (106) を訳すとき、適切な語がなかったので、廃れていた下数を使って「兆」を当ててしまった。混乱に輪をかけたのが giga, tera, peta, exa の訳で、mega を「兆」としたのに応じて順番に「京」、「垓」、「秭」、「穣」を当ててしまった。下数、万進の中数、万万進の中数の他にメートル法が加わったわけだ。今日では意訳ではなく音訳が用いられているが、mega の意味の「兆」は定着していたので変えられなかった。
メートル法 数 中国語 日本語
意訳 音訳
deca 101 十 - デカ
hecto 102 百 - ヘクト
kilo 103 千 - キロ
mega 106 兆 - メガ
giga 109 京 吉 (吉咖) ギガ
tera 1012 垓 太 (太拉) テラ
peta 1015 秭 拍 (拍它) ペタ
exa 1018 穣 艾 (艾可薩) エクサ
zetta 1021 - 沢 (沢它) ゼタ
yotta 1024 - 堯 (堯它) ヨタ

最終的に、「億」は中数の 108 の意味で定着し、「兆」は下数の 106 の意味で定着した。「億」より「兆」のほうが小さくなってしまったわけだ。中国語ではもはや「京」以上が何を意味するか確定しなくなってしまったため、1012, 1016 を「万億」、「億億」と呼ぶようになった。退化したという他はない。言語はただ伝統を大切にすれば良いものではない。数の位のように多義語だと混乱するものは、絶対に統一するべきなのだ。中国語で下数、万進の中数、万万進の中数のどれかを選べなかったのは失敗だった。台湾や韓国では日本式の万進が導入されていたので「兆」は 1012 のままだが、それを超える単位はあまり知られていない。

ところで、数の単位の混乱は西洋にもある。アメリカでは million, billion, trillion はそれぞれ 106, 109, 1012 を意味するが、フランス、ドイツなどでは 106, 1012, 1018 を意味する。これらが統一される気配はないが、最近はアメリカ式が優勢である。


恒河沙、阿僧祇、那由他、不可思議、無量大数は仏教に由来する。仏教が取り入れたインドの数の単位は本来、中国の下数と同じ 10 倍ずつで、例えば阿僧祇は 1 から始めて 52 番目の単位、すなわち 1051 だった。ところが後の仏典ではこれらの数詞の定義が異なることがあり、途方もない数として登場することがある。

大方広仏華厳経の巻第四十五、阿僧祇品第三十には那由他、阿僧祇、無量を含む巨大な数が述べられている。華厳経では 107（千万）を意味する倶胝(くてい)以上は、中国の上数と同じように 2 乗すると次の単位になるので、最後は想像を絶する大きさになる。以下にその数詞を示す。一部、仏教辞典に出ていないため読み方を推測したものがある。
数 名称
105 洛叉(らくしゃ)

107 倶胝(くてい)

107×2 = 1014 阿庾多(あゆた)

107×22 = 1028 那由他(なゆた)

107×23 = 1056 頻波羅(びんばら)

107×24 = 10112 矜羯羅(こんがら)

107×25 = 10224 阿伽羅(あから)

107×26 = 10448 最勝(さいしょう)

107×27 = 10896 摩婆羅(まばら)

107×28 = 101792 阿婆羅(あばら)

107×29 = 103584 多婆羅(たばら)

107×210 = 107168 界分(かいぶん)

107×211 = 1014336 普摩(ふま)

107×212 = 1028672 禰摩(ねま)

107×213 = 1057344 阿婆(あばけん)

107×214 = 10114688 弥伽婆(みかば)

107×215 = 10229376 毘攞伽(びらか)

107×216 = 10458752 毘伽婆(びかば)

107×217 = 10917504 僧羯邏摩(そうがらま)

107×218 = 101835008 毘薩羅(びさら)

107×219 = 103670016 毘贍婆(びせんば)

107×220 = 107340032 毘盛伽(びじょうが)

107×221 = 1014680064 毘素陀(びすだ)

107×222 = 1029360128 毘婆訶(びばか)

107×223 = 1058720256 毘薄底(びばてい)

107×224 = 10117440512 毘佉擔(びきゃたん)

107×225 = 10234881024 称量(しょうりょう)

107×226 = 10469762048 一持(いちじ)

107×227 = 10939524096 異路(いろ)

107×228 = 101879048192 顛倒(てんどう)

107×229 = 103758096384 三末耶(さんまや)

107×230 = 107516192768 毘睹羅(びとら)

107×231 = 1015032385536 奚婆羅(けいばら)

107×232 = 1030064771072 伺察(しさつ)

107×233 = 1060129542144 周広(しゅうこう)

107×234 = 10120259084288 高出(こうしゅつ)

107×235 = 10240518168576 最妙(さいみょう)

107×236 = 10481036337152 泥羅婆(ないらば)

107×237 = 10962072674304 訶理婆(かりば)

107×238 = 101924145348608 一動(いちどう)

107×239 = 103848290697216 訶理蒲(かりぼ)

107×240 = 107696581394432 訶理三(かりさん)

107×241 = 1015393162788864 奚魯伽(けいろか)

107×242 = 1030786325577728 達攞歩陀(たつらほだ)

107×243 = 1061572651155456 訶魯那(かろな)

107×244 = 10123145302310912 摩魯陀(まろだ)

107×245 = 10246290604621824 懺慕陀(ざんぼだ)

107×246 = 10492581209243648 瑿攞陀(えいらだ)

107×247 = 10985162418487296 摩魯摩(まろま)

107×248 = 101970324836974592 調伏(ちょうぶく)

107×249 = 103940649673949184 離憍慢(りきょうまん)

107×250 = 107881299347898368 不動(ふどう)

107×251 = 1015762598695796736 極量(ごくりょう)

107×252 = 1031525197391593472 阿麼怛羅(あまたら)

107×253 = 1063050394783186944 勃麼怛羅(ぼまたら)

107×254 = 10126100789566373888 伽麼怛羅(がまたら)

107×255 = 10252201579132747776 那麼怛羅(なまたら)

107×256 = 10504403158265495552 奚麼怛羅(けいまたら)

107×257 = 101008806316530991104 鞞麼怛羅(べいまたら)

107×258 = 102017612633061982208 鉢羅麼怛羅(はらまたら)

107×259 = 104035225266123964416 尸婆麼怛羅(しばまたら)

107×260 = 108070450532247928832 翳羅(えいら)

107×261 = 1016140901064495857664 薜羅(べいら)

107×262 = 1032281802128991715328 諦羅(たいら)

107×263 = 1064563604257983430656 偈羅(げら)

107×264 = 10129127208515966861312 窣歩羅(そほら)

107×265 = 10258254417031933722624 泥羅(ないら)

107×266 = 10516508834063867445248 計羅(けいら)

107×267 = 101033017668127734890496 細羅(さいら)

107×268 = 102066035336255469780992 睥羅(へいら)

107×269 = 104132070672510939561984 謎羅(めいら)

107×270 = 108264141345021879123968 娑攞荼(しゃらだ)

107×271 = 1016528282690043758247936 謎魯陀(めいろだ)

107×272 = 1033056565380087516495872 契魯陀(けいろだ)

107×273 = 1066113130760175032991744 摩睹羅(まとら)

107×274 = 10132226261520350065983488 娑母羅(しゃもら)

107×275 = 10264452523040700131966976 阿野娑(あやしゃ)

107×276 = 10528905046081400263933952 迦麼羅(かまら)

107×277 = 101057810092162800527867904 摩伽婆(まかば)

107×278 = 102115620184325601055735808 阿怛羅(あたら)

107×279 = 104231240368651202111471616 醯魯耶(けいろや)

107×280 = 108462480737302404222943232 薜魯婆(べいろば)

107×281 = 1016924961474604808445886464 羯羅波(からは)

107×282 = 1033849922949209616891772928 訶婆婆(かばば)

107×283 = 1067699845898419233783545856 毘婆羅(びばら)

107×284 = 10135399691796838467567091712 那婆羅(なばら)

107×285 = 10270799383593676935134183424 摩攞羅(まらら)

107×286 = 10541598767187353870268366848 娑婆羅(しゃばら)

107×287 = 101083197534374707740536733696 迷攞普(めいらふ)

107×288 = 102166395068749415481073467392 者麼羅(しゃまら)

107×289 = 104332790137498830962146934784 駄麼羅(だまら)

107×290 = 108665580274997661924293869568 鉢攞麼陀(はらまだ)

107×291 = 1017331160549995323848587739136 毘迦摩(びかま)

107×292 = 1034662321099990647697175478272 烏波跋多(うはばた)

107×293 = 1069324642199981295394350956544 演説(えんぜつ)

107×294 = 10138649284399962590788701913088 無尽(むじん)

107×295 = 10277298568799925181577403826176 出生(しゅっしょう)

107×296 = 10554597137599850363154807652352 無我(むが)

107×297 = 101109194275199700726309615304704 阿畔多(あばんた)

107×298 = 102218388550399401452619230609408 青蓮華(しょうれんげ)

107×299 = 104436777100798802905238461218816 鉢頭摩(はどま)

107×2100 = 108873554201597605810476922437632 僧祇(そうぎ)

107×2101 = 1017747108403195211620953844875264 趣(しゅ)

107×2102 = 1035494216806390423241907689750528 至(し)

107×2103 = 1070988433612780846483815379501056 阿僧祇(あそうぎ)

107×2104 = 10141976867225561692967630759002112 阿僧祇転(あそうぎてん)

107×2105 = 10283953734451123385935261518004224 無量(むりょう)

107×2106 = 10567907468902246771870523036008448 無量転(むりょうてん)

107×2107 = 101135814937804493543741046072016896 無辺(むへん)

107×2108 = 102271629875608987087482092144033792 無辺転(むへんてん)

107×2109 = 104543259751217974174964184288067584 無等(むとう)

107×2110 = 109086519502435948349928368576135168 無等転(むとうてん)

107×2111 = 1018173039004871896699856737152270336 不可数(ふかすう)

107×2112 = 1036346078009743793399713474304540672 不可数転(ふかすうてん)

107×2113 = 1072692156019487586799426948609081344 不可称(ふかしょう)

107×2114 = 10145384312038975173598853897218162688 不可称転(ふかしょうてん)

107×2115 = 10290768624077950347197707794436325376 不可思(ふかし)

107×2116 = 10581537248155900694395415588872650752 不可思転(ふかしてん)

107×2117 = 101163074496311801388790831177745301504 不可量(ふかりょう)

107×2118 = 102326148992623602777581662355490603008 不可量転(ふかりょうてん)

107×2119 = 104652297985247205555163324710981206016 不可説(ふかせつ)

107×2120 = 109304595970494411110326649421962412032 不可説転(ふかせつてん)

107×2121 = 1018609191940988822220653298843924824064 不可説不可説(ふかせつふかせつ)

107×2122 = 1037218383881977644441306597687849648128 不可説不可説転(ふかせつふかせつてん)


意訳と音訳が入り交じっているが、一個所だけ不統一がある。107×298 は青蓮華(しょうれんげ)と訳されている。次の 107×299 の鉢頭摩(はどま)は赤い蓮の花という意味なので、紅蓮華(ぐれんげ)にするべきだろう。

これらの単位は上数なので実用的ではないが、その巨大さには圧倒される。最後の不可説不可説転は 1 の後に 0 が 37 澗以上ある数である。指数を使わない限り、書くことすらできない。これに比べれば無量大数は塵(ちり)に等しい。無量大数で数えるのをやめた我々は、釈迦(しゃか)の手のひらを全く出ていなかったのだ。
次は日本語で数えるです ]]> 勉強ブログ 2007-07-23T07:19:36+09:00 fumiya90 FC2-BLOG